EJERCICIOS RESUELTOS

👿 Ejercicio (un solo servidor)  #1

1. Suponga que en una estación con un solo servidor llegan en promedio 45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.

Se solicita:

a) Tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema.

b) Número promedio de clientes en la cola. 

c) Número promedio de clientes en el Sistema en un momento dado. Solución: Se conoce la siguiente información:

λ= 45 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 45/60 clientes/minutos
µ= 60 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 60/60 clientes/minutos= Wq = 3 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola)

a) Para calcular el tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema (Ws). Lo podemos calcular a partir de Wq y µ.

Es decir en promedio un cliente pasa 4 minutos en el Sistema: distribuidos así 3 minutos pasa esperando en la cola + 1 minutos en servicio. 

b) Para calcular el número de clientes en la cola (Lq), usaremos la fórmula siguiente:

 Lq= λ Wq.

Es decir los cálculos nos muestran que en la cola puede haber más de dos clientes en la cola. 

c) Para calcular cual es el número de clientes en la cola (Ls). Lo podemos hacer con la fórmula: Ls= λ Ws .

         

Es decir en promedio hay tres clientes en el sistema, como se nos ha dicho que solo hay un servidor, sabemos que solo un cliente puede estar en servicio, por lo que los demás deben estar en la cola. Esto indica que hay dos clientes en espera.

 

👿 Ejercicio (un solo servidor)  #2

Suponga un restaurante de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola Calcule las medidas de desempeño del sistema 

a) ¿Cuál es la probabilidad que el sistema este ocioso? 

b) ¿Cuál es la probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar, porque el sistema está ocupado?

c) ¿Cuál es el número promedio de clientes en la cola? 

d) ¿Cuál es la probabilidad que hayan 10 clientes en la cola? Solución: Se conoce la siguiente información: 

λ= 100 clientes/hora (media de llegada de los clientes)= 100/60 clientes/minutos 
µ= 150 clientes/hora (media de servicio a los clientes) = 150/60 clientes/minutos= 
Wq = 2 minutos (tiempo promedio de espera de un cliente en la cola) 

a) Para conocer cuál es la probabilidad de que el sistema este ocioso, primero conoceremos, cual es la probabilidad que esté ocupado o factor de utilización del sistema. 

Es decir (1- ρ) representa el tiempo ocioso del sistema, es decir 1- 0.667= 0.333 = 33.3% el sistema permanece ocioso.

b) La probabilidad que un cliente llegue y tenga que esperar es suponer que estará como primer cliente en la cola. Usaremos la fórmula: 

Es decir existe un 22.2% de posibilidad que haya un cliente en la cola esperando ser atendido. 

c) Ahora requerimos calcular el número de clientes en la línea de espera.

Es decir existe la posibilidad de llegar a tener un promedio de 4 clientes en la línea de espera. 

d) La probabilidad de que hayan 10 clientes en la cola, como hemos visto existe un promedio de tener hasta 4 clientes en la cola que hayan más de 4 las probabilidades serán muy pequeñas, para ese cálculo haremos uso de la fórmula que usamos en el inciso b de este mismo ejemplo.  

 👿 Ejercicio (un solo servidor) #3

3.- Una computadora procesa los trabajos que se le asignan sobre la base "primero en llegar primero ser atendido (FIFO=PEPS). Los trabajos llegan con una distribución Poisson con promedio de tiempo entre llegadas de cinco minutos. En el procesamiento de los trabajos consiste en que ningún trabajo pase más de seis minutos promedio en el sistema. ¿Qué tan rápido debe de trabajar el procesador para cumplir con este objetivo?

𝝁 = 𝟐𝟐 𝒕𝒓𝒂𝒃𝒂𝒋𝒐𝒔/𝒉𝒐𝒓𝒂; el procesador debe sacar 22 trabajos por hora. Para que los trabajos tarden en promedio 6 minutos en el sistema.

 👿 Ejercicio (un solo servidor) #4

4.- Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Conteste las preguntas siguientes:

a. ¿Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

b. ¿Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido no está en la cola esperando) 

c. ¿Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco, (incluyendo el tiempo de servicio)? 

d. ¿Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

Solución: Se conoce la siguiente información: 

λ= 10 clientes/hora (media de llegada de los clientes) = 1/6 clientes/minutos 

µ= 1 clientes/4 minutos (media de servicio de los clientes)=1/4 cliente/minuto 

EJERCICIOS PROPUESTOS

👿 Modelo M/M/1: ejemplo 1

 

Un lavadero de autos puede atender un auto cada 5 minutos siendo la tasa media de llegadas es de 9 autos por hora.

Obtenga los indicadores de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1

Obtener además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema, la probabilidad de tener una cola de más de 3 clientes y la probabilidad de esperar más de 30 min. En la cola y en el sistema.

👿 Modelo M/M/1 Ejemplo 2

Un promedio de 10 automóviles por hora llegan a un cajero con un solo servidor que proporciona servicio sin que uno descienda del automóvil. Suponga que el tiempo de servicio promedio por cada cliente es 4 minutos, y que tanto los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales. Calcular:

1. Cuál es la probabilidad que el cajero esté ocioso?

2. Cuál es el número promedio de automóviles que están en la cola del cajero? (se considera que un automóvil que está siendo atendido, no está en la cola esperando)

3. Cuál es la cantidad promedio de tiempo que un cliente pasa en el estacionamiento del banco?(incluyendo el tiempo de servicio).

4. Cuántos clientes atenderá en promedio el cajero por hora?

4. Si el cajero siempre estuviera ocupado, atendería un promedio de µ=15 clientes por hora. Según la solución encontrada en (1) el cajero está ocupado 2/3 del tiempo. Por tanto dentro de cada hora, el cajero atenderá un promedio de (2/3)(15)= 10 clientes.

👿 Modelo M/M/1: Ejemplo 3

Suponga que todos los automovilistas acuden a la estación de servicio cuando sus tanques están por la mitad. En el momento actual llegan un promedio de 7.5 clientes por hora a una estación que tiene un solo surtidor. Se requiere un promedio de 4 minutos para servir a un automóvil. Suponga que los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicios son exponenciales.

1. Calcule L y W para las condiciones actuales.

2. Suponga que hay un déficit de abastecimiento de combustible y que hay demanda creciente. Para modelar este fenómeno, suponga que todos los automovilistas compran ahora combustible cuando sus tanques tienen ¾ de la capacidad. Como cada dueño pone ahora menos combustible en el tanque cada vez que acude a la estación, supongamos que el tiempo de servicio promedio se reduce a 3 minutos y un tercio. Qué tanto afectan a L y W la nueva demanda?

👿 Modelo M/G/1: ejemplo 4

Un lavadero de autos puede atender un auto cada 5 min. Y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora, σ = 2 min.

Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1

Además la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema y la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio.

👿 Ejercicio (Múltiples servidores)  #1

Información Necesaria para Ejercicios 1 & 2

Un banco cuenta con 3 cajas para realizar los trámites. Los clientes arriban al banco con una tasa de llegadas que se muestra en la siguiente tabla:

Considere que los clientes se van formando en una fila principal y de ahí se distribuyen entre cada una de las cajas por turnos.

Ejercicio 1:

 con 3 Servidores

Ejercicio 2:

 con 2 Servidores

Ejercicio 3