Investigación de Operaciones UNIDAD V
Introducción a las Líneas de Espera
En la mayoría de los procesos que se presentan en las empresas de manufactura y de servicio, aparecen las líneas de espera. Esto debido a que casi siempre, la capacidad de servicio (en algún momento) es menor que la capacidad demandada. Este proceso de generación de líneas de espera, trae consigo diferentes tipos de inconvenientes que se reflejan a corto y mediano plazo.
Por tal motivo, se cuenta con un conjunto de modelos matemáticos que se enmarcan en el área de “La Teoría de Colas”. Estos modelos buscan encontrar el equilibrio entre el número de unidades que se encuentran en la línea de espera y la cantidad de servidores que satisfagan la demanda de servicio.
5.1 Definición
Las Líneas de Espera se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del servicio y la capacidad del sistema para suministrar ese servicio.
Los Administradores desean que las líneas de espera sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más. Sin embargo los Administradores también contemplan tener una longitud de línea de espera razonable, que sea balanceada, para obtener ahorros significativos en el COSTO del SERVICIO.
Los Administradores reconocen que debe
haber un equilibrio entre el COSTO de proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del
tiempo de ESPERA del cliente que debe ser atendido.
5.2 Terminología y Notación
Conceptualizaciones necesarias para el conocimiento integral de dicha temática:
Además de este tiempo entre llegadas, también se requiere analizar la cantidad de clientes que llegan al sistema, ya que puede ser de uno en uno o en lotes. De tal manera, es relevante analizar también la distribución probabilística asociada a la cantidad de clientes esperados que llegan por unidad de tiempo. Esta variable se conoce con el nombre de “Tasa Media de Llegadas” y su parámetro asociado es “λ” Lambda.
👉 La Capacidad de la Cola. Es importante conocer de antemano cuál es la capacidad máxima de la cola, es decir, cuantos clientes pueden ubicarse en la línea de espera. Ya que se puede presentar casos en donde el sistema de colas presenta una línea de espera con capacidad limitada, otras donde es ilimitada y otras donde no hay líneas de espera (tal es el caso de un sistema de atención por vía telefónica en donde el usuario es bloqueado y rechazado si la línea telefónica se encuentra ocupada).
El segundo indica que el último en ingresar a la cola es el primero en ser atendido.La aplicación de alguno de estos dos sistemas mencionados depende de la naturaleza de la unidad (Por ejemplo un producto no perecedero podrá ser trabajado con sistema UEPS, en cambio un producto perecedero deberá ser operado con un sistema PEPS). Adicional a los sistemas mencionados, también se puede presentar sistemas de colas en donde la atención se da con base a los niveles de prioridad que lleven los clientes (un ejemplo típico de este caso es el sistema de urgencias médicas en un hospital).
Fórmulas
Probabilidad que no haya clientes en el sistema:
Cantidad promedio de clientes en la línea de espera:
Cantidad promedio de clientes en el Sistema:
Tiempo promedio que permanece un cliente en la línea de espera:
Tiempo promedio que permanece un cliente en el sistema:
Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar por el servicio (factor de utilización):
Probabilidad de n clientes en el sistema:
Ejemplo:
M / M / 1
λ = 0,75 clientes / minuto
μ = 1 cliente / minuto
5.3 Proceso de Nacimiento o Muerte
- Proceso de nacimiento
- Llegada de clientes al sistema
- N(t): Estado en el sistema en el tiempo t
- Supuesto 1. Dado N(t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n. (n = 0, 1, 2, . . .).
- Procesos de Muerte
- Salida de clientes del sistema
- Cambio probabilístico en N al aumentar t
- Dado N(t)=n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro n (n =1, 2, . . .).
5.4 Modelos Poisson.
Funciones
de distribución de llegadas
La llegada de clientes al sistema suponemos que
de forma aleatoria, por lo tanto sigue una distribución de Poisson, es decir,
las llegadas entre sí no guardan relación, es decir, son independientes. El
número medio de llegadas en un intervalo de tiempo es constante y vendrá
determinado por el parámetro landa. Así mismo, la probabilidad de que se
produzca una llegada depende de la amplitud del intervalo de tiempo
considerado.
En los procesos de Poisson se dan las
siguientes condiciones:
- El
número de llegadas en un intervalo de tiempo es independiente del número de
llegadas ocurridas en períodos anteriores, es decir, estos procesos carecen de
memoria.
- La
tasa media de llegadas, landa, debe permanecer constante durante todo el
período considerado.
- La
probabilidad de que una llegada se produzca en un intervalo de tiempo es igual
a landa veces la duración del mismo, (a menor duración de los intervalos menor
probabilidad de ocurrencia del suceso).
Los procesos de Poisson nos proporcionan dos
importantes distribuciones de probabilidad, que nos reflejan el mismo fenómeno
pero por diferentes caminos: la distribución exponencial, y la distribución de
Poisson.
La distribución Exponencial
Indica
la distribución de las probabilidades de los intervalos de tiempo entre las
distintas llegadas. Esta distribución representa el tamaño de los intervalos de
tiempo entre llegadas, medidos en unidades de tiempo, y sus probabilidades.
La distribución de Poisson.
Indica
la probabilidad de que un número concreto de llegadas se produzcan en un
intervalo de tiempo. A veces las distribuciones de llegada se expresan en
términos del tiempo entre llegadas, que frecuentemente siguen una distribución
exponencial negativa. Si el número de llegadas en un intervalo dado sigue una
distribución de Poisson, entonces necesariamente los tiempos entre llegadas
tienen una distribución exponencial negativa, y viceversa. La distribución de
Poisson y la Exponencial son complementarias.
Probabilidad
de que X llegadas se produzcan durante el intervalo de tiempo t:
5.4.1 Un Servidor.
Modelos de colas
El
primer sistema que se muestra en la figura, se llama un sistema de un servidor
y una cola. El segundo, una línea con múltiples servidores. Una cola se produce
cuando la demanda de un servicio por parte de los clientes excede la capacidad
del servicio.
- ·
Se necesita conocer (predecir)
el ritmo de entrada de los clientes y el tiempo de servicio con cada cliente.
- ·
La teoría de colas es un
conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera
particulares
Objetivo:
- ·
Equilibrar los costos de
capacidad del servicio y el “costo” de una espera larga.
UNA
LÍNEA, UN SERVIDOR
1° SISTEMA: Se muestra en la
figura, se llama un sistema de un servidor y una cola.
Ejemplo:
Puede describir un lavado de carros automático o un muelle de descarga de un
solo lugar. Entra el auto al auto lavado-automático pasa por la lavadora y
listo.
2° SISTEMA: Este muestra una línea
con múltiples servidores. Ejemplo: Es típico de una peluquería o una panadería
en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando llega el
turno. En un consultorio médico llega toma el turno y espera hasta que le toque
su turno para ser atendido.
Línea de espera de un solo canal o un solo servidor.
Cada
cliente debe pasar por un canal, una estación para tomar y surtir el pedido,
para colocar el pedido, pagar la cuenta y recibir el producto. Cuanto llegan
más clientes forman una línea de espera y aguardan que se desocupe la estación
para tomar y surtir el pedido.
Distribución de llegadas
Para
determinar la distribución de probabilidad para la cantidad de llegadas en un
período dado, se puede utilizar la distribución de Poisson.
/ = Media o cantidad promedio de
ocurrencia en un intervalo
e = 2.17828
X = cantidad de ocurrencias en el
intervalo
El
tiempo de servicio es el tiempo que pasa un cliente en la instalación una vez
el servicio ha iniciado.
Se
puede utilizar la distribución de probabilidad exponencial para encontrar la
probabilidad de que el tiempo de servicio sea menor o igual que un tiempo t.
e= 2.17828
μ= cantidad media de unidades
que pueden servirse por período
Modelos de línea de espera de un solo canal con llegadas de
poisson y tiempos de servicio exponenciales
A
continuación, las fórmulas que pueden usarse para determinar las
características operativas de estado estable para una línea de espera de un
solo canal.
El
objetivo de las fórmulas es mostrar cómo se puede dar información acerca de las
características operativas de la línea de espera.
5.4.2 Múltiples Servidores.
Modelo de múltiples servidores en paralelo (M/M/C)
En
este caso suponemos que:
- ·
Las llegadas siguen una
distribución tipo Poisson
- ·
Los tiempos de servicio siguen
una distribución Exponencial
- ·
Se aplica el método FIFO, el
1º cliente pasa al servidor que este libre, solo hay una cola
Si
todos los servidores están ocupados (nº clientes<nº servidores ; N<=C):
- ·
No hay cola
- ·
Tasa de servicio combinada es=
n*mu
Si el
nº de clientes es por lo menos tan grande como el nº de servidores ( n≥c):
- ·
Todos los servidores están
ocupados
- ·
Tasa de servicio combinada=
c*mu
Suponemos
que la capacidad total del servicio es mayor que la demanda de los clientes:
c*mu>landa
Si el
nº de servidores fuera infinito, siempre habrá un servidor disponible, no
habría cola y por lo tanto no habría tiempo de espera: Lq=Wq=0
El nº
de clientes en el sistema L, será igual al nº de servidores ocupados.
Fórmulas:
- ·
Siendo “c” el nº de servicios
en paralelo
- ·
Para todas las fórmulas
basadas en la probabilidad de que no haya clientes en el sistema.
Resumiendo:
5.5 Analisis de Costos.
Los
costos en que se incurre al realizar una actividad, un proyecto, una empresa, se
le nombra costos pertinentes, que son los costos directos de una elección, y son
de dos tipos: los costos fijos que están disociados de la producción, esto es, se
presentan independientemente de la escala productiva, produzca o no, tales como
la renta o pagos de arrendamiento de un automóvil. Los costos que varían en
proporción directa a la escala de producción de la empresa se les llaman costos
variables.
En
el corto plazo la función de costos es una relación lineal del tipo:
Ct
= Cf + Cv * Q
En
el largo plazo la función se expresa como una función potencia:
Ct
= âQ^b
·
donde a y b son parámetros
estimados y Q es la escala de producción realizada.
Cuando
el valor de b es mayor a 1 describe costos marginales crecientes positivos, Cuando
el valor de b es igual a 1 los costos son constantes positivos, Cuando el valor
de b es mayor a 0 y menor a 1 los costos comportan incrementos marginales
decrecientes positivos.
Al
realizar una elección y trabajar en ella los costos pertinentes implican la renuncia
implícita de otras posibles alternativas, las cuales se ordenan de forma transitiva,
es decir de la mejor elección a la menor, la renuncia de la alternativa inmediata
a la elegida es el costo de oportunidad.
El
costo pertinente más el costo de oportunidad dan el costo económico que es el implícito
de toda elección. El costo económico es un tema de reflexión necesario en la
toma de decisiones, sobre todo en la evaluación o valoración de un proyecto de
inversión.
Todo
lo anterior es un análisis del costo total y sus componentes, así como sus implicancias
económicas en una cartera de inversión. Ahora bien interesa el enfoque relativo
de los costos, especialmente relativo a los marginales, puesto que los costos
marginales de los insumos o factores productivos implicados establecen el
criterio de combinación óptima eficiente de los mismos.
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